二重积分：有两个自变量z=f(x,y)

　　当被积函数为1时,就是面积(自由度较大)

　　∫(a→b)∫(c→d)dxdy=A(平面面积)

　　当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积

　　∫(a→b)∫(c→d)dxdy=V(旋转体体积)

　　计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等

　　极坐标变换：{x=rcosθ

　　{y=rsinθ

　　{α≤θ≤β、最大范围：0≤θ≤2π

　　∫(α→β)∫(h→k)f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

　　三重积分：有三个自变量u=f(x,y,z)

　　被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大)

　　∫(a→b)∫(c→d)∫(e→f)dxdydz=V(旋转体体积)

　　当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等

　　计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等

　　极坐标变化(柱坐标)：{x=rcosθ

　　{y=rsinθ

　　{z=z

　　{h≤r≤k

　　{α≤θ≤β、最大范围：0≤θ≤2π

　　∫(α→β)∫(h→k)∫(z₁→z₂)f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ

　　极坐标变化(球坐标)：{x=rsinφcosθ

　　{y=rsinφsinθ

　　{z=rcosφ

　　{h≤r≤k

　　{a≤φ≤b、最大范围：0≤φ≤π

　　{α≤θ≤β、最大范围：0≤θ≤2π

　　∫(α→β)∫(a→b)∫(h→k)f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r²sin²φdrdφdθ

　　所以越上一级,能求得的空间范围也越自由,越广泛,但也越复杂,越棘手,而

　　且限制比上面两个都少,对空间想象力提高了.

　　重积分能化为几次定积分,每个定积分能控制不同的伸展方向.

　　又比如说,在a≤x≤b里由f(x)和g(x)围成的面积,其中f(x)>g(x)

　　用定积分求的面积公式是∫(a→b)[f(x)-g(x)]dx

　　但是升级的二重积分,面积公式就是∫(a→b)dx∫(g(x)→f(x))dx、被积函数变为1了

　　用不同积分层次计算由z=x²+y²、z=a²围成的体积?

　　一重积分(定积分)：向zox面投影,得z=x²、令z=a²-->x=±a、采用圆壳法

　　V=2πrh=2π∫(0→a)xzdx=2π∫(0→a)x³dx=2π•(1/4)[x⁴]|(0→a)=πa⁴/2

　　二重积分：高为a、将z=x²+y²向xoy面投影得x²+y²=a²

　　所以就是求∫∫(D)(x²+y²)dxdy、其中D是x²+y²=a²

　　V=∫∫(D)(x²+y²)dxdy=∫(0→2π)dθ∫(0→a)r³dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的

　　=2π•(1/4)[r⁴]|(0→a)=πa⁴/2

　　三重积分：旋转体体积,被积函数是1,直接求可以了

　　柱坐标切片法：Dz：x²+y²=z

　　V=∫∫∫(Ω)dxdydz

　　=∫(0→a²)dz∫∫Dzdxdy

　　=∫(0→a²)πzdz

　　=π•[z²/2]|(0→a²)

　　=πa⁴/2

　　柱坐标投影法：Dxy：x²+y²=a²

　　V=∫∫∫(Ω)dxdydz

　　=∫(0→2π)dθ∫(0→a)rdr∫(r²→a²)dz

　　=2π•∫(0→a)r•(a²-r²)dr

　　=2π•[a²r²/2-(1/4)r⁴]|(0→a)

　　=2π•[a⁴/2-(1/4)a⁴]

　　=πa⁴/2

　　三重积分求体积时能用的方法较多,就是所说的高自由度.

　　既然都说了这麼多,再说一点吧：

　　如果再学下去的话,你会发现求(平面)面积、体积比求(曲面)面积的公式容易

　　学完求体积的公式,就会有求曲面的公式

　　就是「曲线积分」和「曲面积分」,又分「第一类」和「第二类」

　　当被积函数为1时,第一类曲线积分就是求弧线的长度,对比定积分只能求直线长度

　　∫(C)ds=L(曲线长度)

　　被积函数不为1时,就是求以弧线为底线的曲面的面积

　　∫(C)f(x,y)ds=A(曲面面积)

　　当被积函数为1时,第一类曲面积分就是求曲面的面积,对比二重积分只能求平面面积

　　∫∫(Σ)dS=A(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大

　　∫∫(Σ)f(x,y,z)dS,物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等

　　而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要,而且是有"方向性"的,涉及向量范围了.

　　这两个比较复杂,概念又深了一层,慢慢体会,多做题