1、向量的加法

　　向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

　　向量的加法OB+OA=OC.

　　a+b=(x+x',y+y').

　　a+0=0+a=a.

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a；

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

　　向量的减法

　　AB-AC=CB.即“共同起点,指向被

　　向量的减法减”

　　a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').

　　3、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

　　当λ＞0时,λa与a同方向；

　　向量的数乘

　　当λ＜0时,λa与a反方向；

　　向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.

　　当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

　　注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

　　实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

　　当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　　当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

　　4、向量的数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.

　　向量的数量积的运算律

　　a·b=b·a（交换律）；

　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；

　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

　　向量的数量积的性质

　　a·a=|a|的平方.

　　a⊥b〈=〉a·b=0.

　　|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）

　　向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

　　2、向量的数量积不满足消去律,即：由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c.

　　3、|a·b|≠|a|·|b|

　　4、由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b.

　　5、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

　　向量的向量积性质：

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

　　a×a=0.

　　a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.

　　向量的向量积运算律

　　a×b=-b×a；

　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　　a×（b+c）=a×b+a×c.

　　注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

　　6、三向量的混合积

　　向量的混合积

　　定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,

　　向量的混合积所得的数叫做三向

　　量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

　　混合积具有下列性质：

　　1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

　　2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

　　3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

　　4、(a×b)·c=a·(b×c)