傅立叶变换已经被推广到局部紧Hausdorff空间甚至到群（其实是紧拓扑群）上

　　抽象空间上的傅立叶变换的难度及深度远不是一元欧氏空间上函数的傅立叶变换可以比的,个人认为那种定义在这里给你介绍对你也没多大帮助,你如果想知道这方面的内容,等你学完泛函分析、实分析、复分析、抽象代数、点集拓扑之后找本介绍抽象空间上的傅立叶分析教材看看就知道了.

　　额,可能我过度理解你的问题了.也许你说的空间仅仅是指欧氏空间?

　　如果是那样的话,R^n上推广傅立叶变换的定义基本跟一元的情况差不多

　　表达式基本是一样的,原函数f(x)的自变量是一个n维向量x,傅立叶变换后的自变量也是一个n维向量（希腊字母我打不出来,先用z替代了）

　　那么f的傅立叶变换定义就是F(f)(z)=整个R^n上积分f(x)e^(-2派ix*z)dx

　　跟一维的式子其实是一样的,注意两个向量x和z的乘法用的是内积,一维的时候就是普通的乘法.f(x)的傅立叶变换存在的前提条件仍然是其在整个R^n上的Lebesgue积分有意义且有限,就是f(x)在R^n可积（当代的数学里,定义域在欧氏空间上的函数可积一般就是指Lebesgue可积）