为讨论方便,设A为m阶方阵

　　证明：设方阵A的秩为n

　　因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换,变成形如

　　10…0…0

　　01…0…0

　　…………………

　　00…1…0

　　00…0…0

　　…………………

　　00…0…0

　　的矩阵,称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）

　　本题讨论的是方阵,就是可以通过一系列初等行变换的标准形为

　　主对角线前若干个是1；其余的是若干个0

　　以及除对角线以外的元素都是0.设A的标准形为B

　　因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与

　　“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构.

　　所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用,

　　从同构的意义上说,他们是“无差别”的.

　　（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别,所以

　　用形如“线性变换A”,表示线性变换

　　用形如“矩阵A”,表示线性变换的矩阵）

　　前面知识应该提到的内容：

　　一系列初等矩阵的乘积是非退化的,初等变换不改变矩阵的秩,初等变换是可逆的

　　所以矩阵B的秩（1的个数）,就是矩阵A的秩,就是n

　　因为可逆且不改变秩,所以讨论矩阵B的情况,可以应用到矩阵A上.

　　我们随即看到,

　　如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n,则线性变换B就是

　　对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序,我们取前n个不会有原则性的问题）

　　后m-n个基做零变换,所构成的线性变换,线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n

　　就可以快速找到n个线性无关的特征向量,这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了.

　　我们得到的结论是,线性变换B秩是多少,就一定找到有多少个线性无关的特征向量.

　　因为一个特征向量只能属于一个特征值,

　　所以有多少个线性无关的特征向量,就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）

　　这里有n个1,都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）

　　因为非退化的线性替换不改变空间的维数,不改变矩阵的秩.

　　下面我们解释重根为什么按重数计算,对矩阵B做初等行变换,

　　第i行乘以数域P上的数k≠1（当然,如果k=1纯属脱裤子放屁）,

　　我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k),

　　其它初等变换相应类推.

　　借用学物理的思维,一个变换莫测的关系中,寻找守恒量是什么?这个是有意义的.

　　而做这样的非退化的线性变换变换,虽然特征值会随之改变,

　　但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量,其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的.

　　这样我们就发现了守恒量,至于属于不同特征向量的特征值是否相等,纯属巧合,无意义.

　　有多少个碰巧相等的都无所谓,有多少个相等（相当于特征多项式的几次方）,就当然重复计算.

　　最后来一个问题的封闭,题目说的是方阵A

　　这个简单,将矩阵B做一系列初等行变换,虽然特征多项式改变了,线性变换改变了,

　　特征多项式也变了,但是我们发现的守恒量n,是不变的.