n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量!

　　[证明]充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量X1,X2,……,则AXi=入iXii=1,2,……,n

　　A[X1X2……Xn]=[入1X1入2X2……入nXn]

　　=[X1X2……Xn]*

　　X1,X2,Xn线性无关,故P=[X1X2Xn]为满秩矩阵,令V=*,则有AP=PV

　　V=AP/P

　　必要性：已知存在可逆方阵P,使

　　AP/P=V=*

　　将P写成列向量P=[P1P2Pn]Pn为n维列向量

　　[AP1AP2……APn]=[入1P1入2P2……入nPn]

　　可见,入i为A的特征值,Pi为A的特征向量,

　　所以,A具有n个线性无关的特征向量.

　　注：因为上面的过程是我自己手工打上去的,好多符号百度都打不出来,将就能看懂就好,其中*表示的是一个n阶对角矩阵,对角线上的矢量分别为入1,入2……入n

　　n阶矩阵在复数范围内,一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数）,从这个意义上说,矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的.n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了.

　　但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）.