导数

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　　导数（derivative）亦名微商,由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.又称变化率.如一辆汽车在10小时内走了600千米,它的平均速度是60千米／小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米／小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置s与时间t的关系为s＝f（t）,那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0],当t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时间内的运动变化情况,自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0]作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度.一般地,假设一元函数y＝f(x)在x0点的附近(x0－a,x0＋a)内有定义,当自变量的增量Δx＝x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数（或变化率).若函数f在区间I的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作f′,称之为f的导函数,简称为导数.函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l在P0〔x0,f（x0）〕点的切线斜率.

　　导数是微积分中的重要概念.导数定义为,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.

　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性.

　　求导数的方法

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　　（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

　　①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

　　②求平均变化率

　　③取极限,得导数.

　　（2）几种常见函数的导数公式：

　　①C'=0(C为常数)；

　　②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)；

　　③(sinx)'=cosx；

　　④(cosx)'=-sinx；

　　⑤(e^x)'=e^x；

　　⑥(a^x)'=a^xIna（ln为自然对数）

　　（3）导数的四则运算法则：

　　①(u±v)'=u'±v'

　　②(uv)'=u'v+uv'

　　③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

　　（4）复合函数的导数

　　复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则.

　　导数是微积分的一个重要的支柱!

　　导数公式及证明

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　　这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

　　1.y=c(c为常数)y'=0

　　2.y=x^ny'=nx^(n-1)

　　3.y=a^xy'=a^xlna

　　y=e^xy'=e^x

　　4.y=logaxy'=logae/x

　　y=lnxy'=1/x

　　5.y=sinxy'=cosx

　　6.y=cosxy'=-sinx

　　7.y=tanxy'=1/cos^2x

　　8.y=cotxy'=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinxy'=1/√1-x^2

　　10.y=arccosxy'=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanxy'=1/1+x^2

　　12.y=arccotxy'=-1/1+x^2

　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

　　1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』

　　2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

　　3.y=f(x)的反函数是x=g(y）,则有y'=1/x'

　　证：1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.

　　2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.

　　3.y=a^x,

　　⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

　　⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

　　如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β).

　　所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.

　　把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.

　　可以知道,当a=e时有y=e^xy'=e^x.

　　4.y=logax

　　⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

　　⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

　　因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有

　　lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.

　　可以知道,当a=e时有y=lnxy'=1/x.

　　这时可以进行y=x^ny'=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

　　所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1).

　　5.y=sinx

　　⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)