已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f-查字典问答网

来自施晓红的问题

　　已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，（1）求f（0）．（2）判断函数的奇偶性，并证明之．（3）解不等式f（a2-4）+f（2a+1）＜0．

　　已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，

　　（1）求f（0）．

　　（2）判断函数的奇偶性，并证明之．

　　（3）解不等式f（a2-4）+f（2a+1）＜0．

1回答

2020-02-08 16:27

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柴志刚

　　（1）取x=y=0则f（0）=2f（0）∴f（0）=0

　　（2）f（x）是奇函数．其证明如下：

　　对任意x∈R，取y=-x则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）

　　∴f（x）是R上的奇函数

　　（3）任意取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2=x1+△x（其中△x＞0）

　　∴f（x2）=f（x1+△x）=f（x1）+f（△x）

　　∴f（x2）-f（x1）=f（△x）＞0即f（x2）＞f（x1）

　　∴f（x）是R上的增函数

　　又∵f（a2-4）+f（2a+1）＜0

　　∴f（2a+1）＜-f（a2-4）=f（4-a2）

　　∴2a+1＜4-a2即a2+2a-3＜0

　　∴-3＜a＜1

2020-02-08 16:28:37