首先你得理解基的作用.

　　一般的向量是比较抽象和绝对的概念,引入了基之后向量就可以用相对于这组基的坐标来表示,这样就把抽象的向量转化到具体的坐标（也就是一组数）.

　　在有了基之后抽象的线性变换也就可以用具体的矩阵来描述了.

　　这里的道理是一样的,用Gram矩阵可以把抽象的内积转化到一组具体的数.

　　比如说e_1,e_2,...,e_n是V的一组基,若向量a和b在这组基下的向量分别是x和y,记E=(e_1,e_2,...,e_n),那么形式上就有a=Ex,b=Ey,而它们的内积恰好就是

　　=(Ey)^H*(Ex)=y^H*G*x

　　这里G=E^H*E就是Gram矩阵,跳过中间的形式推导,内积运算就转化到了矩阵乘法.

　　当然,形式推导也可以严格化,一种方式是直接按分量来写,另一种方式是对向量直接定义诸如转置共轭和乘法运算.