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  【抽象函数的题目要完整的越多越好】

  抽象函数的题目

  要完整的越多越好

1回答
2020-02-08 23:37
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毕卫红

  陈磊

  在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题.这类问题由于条件中没有给出具体的函数解析式,而只给出该函数所具备的某些性质,所以大家求解此类问题时往往感到很棘手.事实上,这类问题一般都是以基本初等函数作为模型,只要我们认真分析,善于联想,挖掘出作为模型的函数,变抽象为具体,变陌生为熟知,必能为我们的解题提供思路和方法.下面略举数例加以说明.

  一、以正比例函数为模型

  例1.已知是定义在R上的函数,对任意的都有,且当时,.问当时,函数是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.

  分析:我们知道,正比例函数满足.根据题设,我们可推知本题是以函数作为模型设计的问题.于是,我们可以判定函数的奇偶性、单调性入手来求解.

  令,则,解得

  又因为

  所以

  即函数为奇函数.

  设,则

  依题意,有

  所以,

  即函数在R上是减函数.

  因此,函数当时有最大值,且

  二.以一次函数为模型

  例2.定义在R上的函数满足,且时,.

  (1)设,求数列的前n项和;

  (2)判断的单调性,并证明.

  分析:对于一次函数有成立.分析本题条件可知该题是以函数为模型命制的.

  令,则

  所以,

  故数列是首项为,公差为的等差数列.

  因此,

  (2)设,且,则

  所以

  于是

  又

  所以,而函数在R上是减函数.

  三.以指数函数为模型

  例3.设函数定义在R上,对于任意实数m、n,恒有,且当时,.

  (1)求证:,且当时,;

  (2)求证:在R上单调递减;

  (3)设集合,

  ,若,求a的取值范围.

  分析:我们知道,指数函数满足:

  ①;

  ②.

  分析本题条件和结论,可推知本题是以函数为模型命制的.

  (1)令,得

  又当时,所以

  设,则

  令,则

  所以

  又,所以

  (2)设,且,则

  所以

  从而

  又由已知条件及(1)的结论知恒成立

  所以

  所以

  所以,故在R上是单调递减的.

  (3)由得:

  因为在R上单调递减

  所以,即A表示圆的内部

  由得:

  所以B表示直线

  所以,所以直线与圆相切或相离,即

  解得:

  四.以对数函数为模型

  设函数定义域为,且对任意的实数x、y,有,已知,且当时.

  (1)求证:;

  (2)试判断在上的单调性,并证明.

  分析:我们知道,对数函数满足:

  ①;

  ②.

  分析本题条件,可判定该题是以函数为模型命题的.

  证明:(1)令,则

  解得:

  令,则

  解得:

  (2)设,则,于是

  因为

  所以

  所以,即函数在上是增函数.

  五.以三角函数为模型

  例5.定义在R上的函数对任意实数a、b都有成立,且.

  (1)求的值;

  (2)试判断的奇偶性;

  (3)若存在常数使,试问是否为周期函数?若是,指出它的一个周期;若不是,请说明理由.

  分析:由三角函数的和差公式可知,观察题设条件,我们可判断本题是以余弦函数为模型设计的问题.

  (1)令

  则

  所以

  又因为,所以

  (2)令,则

  由可得

  所以是R上的偶函数.

  (3)令,则

  因为

  所以

  所以

  所以

  所以是以2c为周期的周期函数.

  例6.已知函数的定义域关于原点对称,且满足:

  (1)

  (2)存在正常数a,使

  求证:(1)是奇函数;

  (2)是周期函数,并且有一个周期为.

  分析:根据三角函数公式可判断本题应是以余弦函数为模型命制的.

  证明:(1)设,则

  所以函数是奇函数.

  (2)令,则

  即

  解得:

  所以

  所以

  因此,函数是周期函数,并且有一个周期为4a.

  /jspd/jtjw/200311/77.html

2020-02-08 23:39:34

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