【一道极佳的抽象函数试题,必有重赏!定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,其对称轴x=k,且当x=1时,函数取得极值,求函数解析式】
一道极佳的抽象函数试题,必有重赏!
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,其对称轴x=k,且当x=1时,函数取得极值,求函数解析式
令x=y=0,得
f(0)=f(0)+f(0)+0
f(0)=0
令x=1,y=-1
f(0)=f(1)+f(-1)-2
f(1)+f(-1)-2=0……@1
由x=k是对称轴
f(k+1)=f(k-1)
按已知展开
f(k)+f(1)+2k=f(k)+f(-1)-2k
f(1)-f(-1)+4k=0……@2
@1、@2得
f(1)=1-2k
再令Y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+2x
所以
f(x)-f(x-1)=f(1)+2(x-1)
f(x-1)-f(x-2)=f(1)+2(x-2)
.
.
.
f(1)-f(0)=f(1)
裂项相消
得
f(x)=(1-2k)x+x(x-1)
f(x)=x^2-2kx
最后,当k=1时函数取得极值
f'(x)=2x-2k
f'(1)=2-2k=0
k=1
所以函数解析式为f(x)=x^2-2x