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　　数学综合实践活动题目：集合与函数概念1．2函数及其表示

　　目的：正确理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

　　2通过大量实例理解构成函数的三个要素；

　　3掌握判定两个函数是否相等的方法；

　　4通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动.

　　主要认知：函数的概念,函数的三要素.

　　过程：

　　我们学习函数,函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的,后经维布伦,林纳用集合与对应的观点,揭示了函数概念的本质,我国请代数学家李善兰在翻译《代数学》时,首先把“function”译成函数且给出定义“凡式中含天,为天之函数”.所以我们今天学习的函数,要感谢这些为数学奉献的数学家们.

　　初中时我们已学过函数的概念：在变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地也就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量,x的取值范围叫定义域,y的取值范围叫值域.

　　实例（1）一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h=130t-5t²A={t|0≤t≤26},B={h|0≤h≤845}

　　我们发现,对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系h=130t-5t²,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应,满足函数定义,应为函数.发现解析式可以用来刻画函数.

　　不同点：实例（1）用解析式刻画变量之间的对应关系

　　实例（2）同图像刻画变量之间的对应关系

　　实例（2）同表格刻画变量之间的对应关系

　　共同点：①都有两个非空数集

　　②两个数集间都有一种确定的对应关系,即按照这种对应关系对于集合A中任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数与之对应.

　　因此,究其函数的本质,我们用集合和对应的观点给出函数全新的定义.

　　⒈一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y＝f（x）,x∈A

　　引导学生深刻体会定义的要点和所满足的条件

　　强调：①函数首先是两个数集之间建立的对应

　　②对于x的每一个值,按照某种确定的对应关系f,都有唯一的y值与它对应,这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应

　　③认真理解y＝f（x）的含义：y＝f（x）是一个整体,f（x）并不表示f与x的乘积,它是一种符号,它可以是解析式,如实例（1）；也可以是图像,如实例（2）；也可以是表格,如实例（3）；y＝f（x）如同一个加工厂,把把输入的数x,按照某种加工过程如解析式,图像,表格,加工称另外一个数值y.

　　④x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域

　　y叫函数值,y的取值范围C={f（x）|x∈A}叫做函数的值域且C≤B

　　强调定义域,值域都是一个集合且值域是集合B的子集

　　这两种定义实质上是一致的,即它们的定义域和值域的意义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,初中给出的定义是从运动变化的观点出发,其中对应关系是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数y对应起来；高中给出的定义是从集合对应的观点出发,其中的对应关系是将A集合中的任一元素与B集合中的唯一确定的元素对应起来,这样定义逃脱了物理运动的束缚,更加完美.

　　函数

　　1.函数的定义

　　2.函数的三要素

　　3.判断两个函数是否相等