变限积分求导法!例题求d/dx∫下限为0,上限为x（x-t）f'(t)dt原式=d/dx(x∫下限为0,上限为x)f'(t)dt-∫下限为0,上限为x,tf'(t)dt)=∫下限为0,上限为xf'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)这步是算的,怎么加个又减个,那个
变限积分求导法!例题
求d/dx∫下限为0,上限为x（x-t）f'(t)dt
原式=d/dx(x∫下限为0,上限为x)f'(t)dt-∫下限为0,上限为x,tf'(t)dt)
=∫下限为0,上限为xf'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)
这步是算的,怎么加个又减个,那个怎么来的,原理是什么?
=∫下限为0,上限为x,f'(t)dt
=f(x)-f(0)
f'这个表示f撇,求导上有,学过的人应该知道!
详细的说下每步怎么算不了,依据什么?讲清楚!
d/dx∫(0→x)(x-t)f'(t)dt
=d/dx∫(0→x)[xf'(t)-tf'(t)]
=d/dx{∫(0→x)xf'(t)dt-∫(0→x)tf'(t)dt}
=d/dxx∫(0→x)f'(t)dt-d/dx∫(0→x)tf'(t)dt
第一积分的值很好算,有：
∫(0→x)f'(t)dt=f(x)-f(0)
而假设第二个积分中,被积函数的原函数是g(t),即：
g'(t)=tf'(t)
则：
∫(0→x)tf'(t)dt=g(x)-g(0)
所以原式为：
d/dx[xf(x)-xf(0)]-d/dx[g(x)-g(0)]
对x微分,不含x的部分作常数处理,得：
xf'(x)+f(x)-f(0)-g'(x)
又由函数g的定义,得到：
=xf'(x)+f(x)-f(0)-xf'(x)
=f(x)-f(0)
其实你给的过程也就是大致按照这种方法,只不过它很早就做了微分,而且比较抽象,所以看起来晕罢了.我则是先整理了式子,然后才做的微分,你可以看到,我的做法跟答案一样,也是约掉了xf'(x)的,所以本质上是一样的.而也许我这样做你会比较好理解.
另外我引入到了函数g(t),但是不必怀疑它是否连续可导,因为有函数tf'(t)存在.至于规范过程的话,还是按照你的过程,写个很抽象的东西就好了,不必引入新东西,然后再去讨论他连续可导.
还不明白的话欢迎补充提问.