设函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f-查字典问答网

来自戴劲雯的问题

　　设函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求证f（x）是奇函数；（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

　　设函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．

　　（1）求证f（x）是奇函数；

　　（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

1回答

2020-02-08 18:51

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戴居丰

　　（1）证明：令x=y=0，知f（0）=0；

　　再令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，

　　∴f（-x）=-f（x），

　　∴f（x）为奇函数；

　　（2）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，

　　∴f（x2-x1）=f[x2+（-x1）]=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，

　　∴f（x）为减函数．

　　而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，

　　f（-3）=-f（3）=6．

　　∴f（x）max=f（-3）=6，f（x）min=f（3）=-6．

2020-02-08 18:53:34