【定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y恒有f-查字典问答网

来自郭瑜茹的问题

　　【定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y恒有f（xy）=f（x）+f（y），当x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数，且f（2）=1．（1）求f（1），f（-1）的值，并求证：f（x）为偶函数；（2】

　　定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y恒有f（xy）=f（x）+f（y），当x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数，

　　且f（2）=1．

　　（1）求f（1），f（-1）的值，并求证：f（x）为偶函数；

　　（2）判断并证明f（x）在（-∞，0）的单调性；

　　（3）解不等式：f（x）-f（x-2）＞3．

1回答

2020-02-08 19:58

我要回答

请先登录

罗强

　　（1）令x=y=1得：

　　f（1）=f（-1）=0，

　　f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）

　　∴f（x）为偶函数；

　　（2）f（x）在（-∞，0）为单调减函数；

　　设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]

　　∵x1-x2＜0

　　∴f（x1-x2）＞f（0）=1

　　∴f（x1-x2）-1＞0

　　对f（x2）＞0

　　∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0

　　∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在（-∞，0）上是减函数．

　　（3）f（2）=1得f（4）=2，f（8）=3，

　　所以f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）

　　根据奇偶性和单调性得|x|＞|8x-16|，x2＞（8x-16）2，即63x2-256x+256＜0

　　解得：169＜x＜167

2020-02-08 20:00:40