定义4：在平面直角坐标系中,二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线.

　　1.a、b、c不都是零.

　　2.b^2-4ac>0.

　　3.a^2+b^2=c^2

　　在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形.这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2-y^2/b^2=1.

　　上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于x,y轴对称.

　　2标准方程编辑本段

　　1,焦点在X轴上时为：

　　x^2/a^2-y^2/b^2=1

　　2,焦点在Y轴上时为：

　　y^2/a^2-x^2/b^2=1

　　3主要特点编辑本段

　　3.11、轨迹上一点的取值范围：

　　│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）.

　　3.22、对称性：

　　关于坐标轴和原点对称.

　　3.33、顶点：

　　A(-a,0),A'(a,0）.同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.

　　B(0,-b）,B'(0,b）.同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.

　　F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

　　对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2

　　3.44、渐近线：

　　焦点在x轴：y=±（b/a)x.

　　焦点在y轴：y=±（a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角.

　　令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e)

　　令θ=0,得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e）

　　令θ=PI,得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e）

　　这两个x是双曲线定点的横坐标.

　　求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）

　　x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

　　（注意化简一下）

　　直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

　　是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.

　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’

　　则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]

　　则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]

　　代入上式：

　　ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

　　即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

　　现在可以用θ取代式中的θ’了

　　得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2

　　现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上的点在渐近线中

　　设M(x,y）是双曲线在第一象限的点,则

　　y=(b/a）√（x^2-a^2）(x>a)

　　因为x^2-a^20)

　　而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)

　　但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的

　　因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x轴,y轴

　　所以应该旋转45度

　　设旋转的角度为a（a≠0,顺时针）

　　（a为双曲线渐进线的倾斜角）

　　则有

　　X=xcosa+ysina

　　Y=-xsina+ycosa

　　取a=π/4

　　则

　　X^2-Y^2=(xcos（π/4）+ysin（π/4）)^2-(xsin（π/4）-ycos（π/4）)^2

　　=（√2/2x+√2/2y)^2-（√2/2x-√2/2y)^2

　　=4（√2/2x)（√2/2y)

　　=2xy.

　　而xy=c

　　所以

　　X^2/（2c)-Y^2/（2c)=1(c>0)

　　Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c1；

　　在双曲线的线上称为双曲线上,则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；

　　在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x^2/a^2-y^2/b^2