已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线.

　　求证：AD,BE,CF交于一点

　　证明：设AD与BE交于点P,则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C,用向量知识分析,即要证存在λ,使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)

　　为简便起见,设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.

　　∵AP平分∠A,BP平分∠B

　　∴存在λ1,λ2,使得

　　向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)

　　∵向量AB+向量BP=向量AP

　　∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)

　　即:(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC

　　由平面向量基本定理,有：

　　1-λ2/c=λ1/c+λ1/b

　　λ2/a=λ1/b

　　消λ2,求得λ1=bc/(a+b+c)

　　于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）

　　∴向量CP=向量CA+向量AP

　　=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）

　　=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC

　　=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB

　　=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)

　　这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c）,使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)

　　所以AD,BE,CF交于一点．