这道题在不同的阶段可以有不同的方法.

　　如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式,可以用:

　　矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的).

　　由A²-A=2E,知x²-x-2=(x-2)(x+1)是A的一个化零多项式.

　　注意到该多项式没有重根,而最小多项式必为化零多项式的因式,可知A的最小多项式没有重根.

　　因此A可对角化.

　　如果是没学Jordan标准型,可以用:

　　矩阵可对角化的充要条件是其任意特征值的几何重数=代数重数.

　　这里特征值λ的几何重数是指AX=λX的解空间维数,

　　代数重数是指其作为A的特征多项式的根的重数(可证明几何重数≤代数重数).

　　因为属于不同特征值的特征向量线性无关,上述条件等价于可以找到n个线性无关的特征向量.

　　由A²-A=2E,知(A+E)(A-2E)=0.

　　于是r(A+E)+r(A-2E)-n≤r((A+E)(A-2E))=0,即r(A+E)+r(A-2E)≤n.

　　-1作为A的特征值的几何重数=n-r(A+E),而2的几何重数=n-r(A-2E).

　　于是由n≥-1的代数重数+2的代数重数

　　≥-1的几何重数+2的几何重数

　　=n-r(A+E)+n-r(A-2E)

　　≥n,

　　可知A没有-1,2以外的特征值,且-1和2的几何重数=代数重数,因此A可对角化.