证明如下：

　　设随机变量有n个,分别为X1,X2,X3,...,Xn,平均数为Y

　　则方差=[(X1-Y)^2+(X2-Y)^2+...+(Xn-Y)^2]/n

　　=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-2Y(X1+X2+...+Xn)+nY^2]/n

　　=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-2Y(nY)+nY^2]/n

　　=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-nY^2]/n

　　=[nX1^2+nX2^2+...nXn^2-(X1+X2+...+Xn)^2]/n^2

　　这个式子对于X1来说是开口向上的二次函数（把X2,X3,...,Xn看成定值）,所以当X1=0或1（即定义域的两个端点之一）时方差有最大值.

　　同理,当X2=0或1时方差有最大值.

　　...

　　同理,当Xn=0或1时方差有最大值.

　　因此只有当所有随机变量都在0或1中取时,方差最大.

　　下面求最大方差：

　　设有a个随机变量取0,n-a个随机变量取1,则平均数Y=(n-a)/n

　　方差=[a(0-Y)^2+(n-a)(1-Y)^2]/n

　　={a[0-(n-a)/n]^2+(n-a)[1-(n-a)/n]^2}/n

　　=[a(n-a)^2+(n-a)a^2]/n^3

　　=a(n-a)/n^2

　　=(-a^2+na)/n^2

　　=[-(a-n/2)^2+(n^2)/4]/n^2

　　≤1/4

　　所以,当a=n/2时,即n/2个0,n/2个1时,方差有最大值1/4(若n为奇数,则方差不可能取到1/4)

　　如果有看不懂的地方,可以给我发信息