三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及不等式的思想和方法.

　　●难点磁场

　　已知对于x的所有实数值,二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的,求关于x的方程=|a－1|+2的根的取值范围.

　　●案例探究

　　〔例1〕已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

　　(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；

　　(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.

　　命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.

　　知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.

　　错解分析：由于此题表面上重在“形”,因而本题难点就是一些考生可能走入误区,老是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数”.

　　技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.

　　(1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0

　　Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4〔(a+c2〕

　　∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.

　　(2)设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=.

　　|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2

　　∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c－a－c>c,解得∈(－2,－)

　　∵的对称轴方程是.

　　∈(－2,－)时,为减函数

　　∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().

　　〔例2〕已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

　　(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.

　　(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.

　　命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题,属★★★★级题目.

　　知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.

　　错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解答本题的难点.

　　技巧与方法：设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制.

　　(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内,画出示意图,得

　　∴.

　　(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

　　(这里01,要使y=au有最小值8,则u=(x－)2+,x∈(0,2应有最小值

　　∴当x=时,umin=,ymin=

　　由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

　　6.∵f(0)=1>0

　　(1)当m＜0时,二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧,符合题意.

　　(2）当m>0时,则解得0＜m≤1

　　综上所述,m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

　　7.证明：(1)

　　,由于f(x)是二次函数,故p≠0,又m>0,所以,pf()＜0.

　　(2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r

　　①当p＜0时,由(1）知f()＜0

　　若r>0,则f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0,)内有解;

　　若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,

　　又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解.

　　②当p＜0时同理可证.

　　8.(1）设该厂的月获利为y,依题意得

　　y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500

　　由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300

　　∴x2－65x+900≤0,∴(x－20)(x－45)≤0,解得20≤x≤45

　　∴当月产量在20~45件之间时,月获利不少于1300元.

　　(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+1612.5

　　∵x为正整数,∴x=32或33时,y取得最大值为1612元,

　　∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1612元.