一道基本的解析几何证明过抛物线y2=2px上的两点A、B分别-查字典问答网
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  一道基本的解析几何证明过抛物线y2=2px上的两点A、B分别引抛物线的切线,其交点恰在抛物线的准线上,求证直线AB经过抛物线的焦点.

  一道基本的解析几何证明

  过抛物线y2=2px上的两点A、B分别引抛物线的切线,其交点恰在抛物线的准线上,求证直线AB经过抛物线的焦点.

1回答
2020-02-08 22:49
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艾金城

  ∵A、B都在抛物线y^2=2px上,

  ∴可设A、B的坐标分别为(m^2/(2p),m)、(n^2/(2p),n).

  ∴AB的斜率k=(m-n)/[m^2/(2p)-n^2/(2p)]=2p/(m+n).

  对y^2=2px求导数,得:2yy′=2p,∴y′=p/y.

  ∴过A的切线斜率=p/m、过B的切线斜率=p/n.

  ∴过A的切线方程是:y-m=(p/m)[x-m^2/(2p)],

   过B的切线方程是:y-n=(p/n)[x-n^2/(2p)].

  联立:y-m=(p/m)[x-m^2/(2p)]、y-n=(p/n)[x-n^2/(2p)],消去y,得:

  m-n=(p/n)[x-n^2/(2p)]-(p/m)[x-m^2/(2p)],

  ∴m-n=px(1/n-1/m)+(1/2)(m-n),

  ∴m-n=px(m-n)/(mn)+(1/2)(m-n),

  ∴1=px/(mn)+1/2,∴1/2=px/(mn),∴x=mn/(2p).

  ∵两切线的交点在抛物线的准线上,而抛物线的准线显然是x=-p/2,∴mn/(2p)=-p/2,

  ∴mn=-p^2.

  很明显,抛物线的焦点F的坐标是(p/2,0).

  ∴AF的斜率k1

  =(m-0)/[m^2/(2p)-p/2]=2mp/(m^2-p^2)=2mp/(m^2+mn)=2p/(m+n).

  ∵k=k1,∴点F在直线AB上,∴AB经过抛物线的焦点.

2020-02-08 22:52:28

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