欧拉对x3+y3=z3没有整数解的证明

　　欧拉利用反证法.欧拉利用反证法.假定x3+y3=z3有整数解,那麼有两个未知数必须是奇数,因此我们可以假定z是偶数而x和y是奇数,於是我们可以改写：假定x3+y3=z3有整数解,那么有两个未知数必须是奇数,因此我们可以假定z是偶数而x和y是奇数,于是我们可以改写：

　　x+y=2p及x=y=2qx+y=2p及x=y=2q

　　使得x=p+q和y=pq使得x=p+q和y=pq

　　由於z3=x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=2p(p2+3q2)由于z3=x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=2p(p2+3q2)

　　因p+q和pq是奇数,p,q不能同时是偶数或同时是奇数.因p+q和pq是奇数,p,q不能同时是偶数或同时是奇数.而且p,q的最大公约数是1.而且p,q的最大公约数是1.

　　由以上的式子我们可以看出不可能是「p是奇数,q是偶数」,因为不然我们就有z3能被2整除而不能被8整除,这是不可能的事.由以上的式子我们可以看出不可能是「p是奇数,q是偶数」,因为不然我们就有z3能被2整除而不能被8整除,这是不可能的事.因此必须是「p是偶数,q是奇数」,於是我们推论p2+3q2是奇数.因此必须是「p是偶数,q是奇数」,于是我们推论p2+3q2是奇数.由於p和q互素(即最大公约数GCD(p,q)=1),因此2p和p2+3q2可能是互素或有一个3的因子.由于p和q互素(即最大公约数GCD(p,q)=1),因此2p和p2+3q2可能是互素或有一个3的因子.

　　第一种情况：2p和p2+3q2是互素.第一种情况：2p和p2+3q2是互素.

　　3不能整除p也不能整除z.3不能整除p也不能整除z.由於2p和p2+3q2是互素,每一个一定是一个完全立方数.由于2p和p2+3q2是互素,每一个一定是一个完全立方数.

　　利用公式利用公式

　　(a2+3b2)3=(a3-9ab2)2+3(3a2b-3b3)2

　　我们可以找到形如p2+3q2的立方数,通过找a和b使设我们可以找到形如p2+3q2的立方数,通过找a和b使设

　　p=a3-9ab2及q=3a2b-3b3p=a3-9ab2及q=3a2b-3b3

　　(欧拉在这裏认为这是唯一的方法可以使p2+3q2是一个立方数.而这要在一百年之后用德国数学家Kummer的工作,可以证明是对的.)(欧拉在这里认为这是唯一的方法可以使p2+3q2是一个立方数.而这要在一百年之后用德国数学家Kummer的工作,可以证明是对的.)

　　将p和q分解因式：将p和q分解因式：

　　p=a(a-3b)(a+3b)

　　q=3a(ab)(a+b)

　　而这裏a和b是互素.而这里a和b是互素.另外另外

　　2p=2a(a-3b)(a+3b)=立方数2p=2a(a-3b)(a+3b)=立方数

　　由於3不能整除p,2a,a-3b和a+3b是两个互素,因此它们都是立方数.由于3不能整除p,2a,a-3b和a+3b是两个互素,因此它们都是立方数.我们会得到我们会得到

　　2a=A3,a-3b=B3及a+3b=C32a=A3,a-3b=B3及a+3b=C3

　　由此我们可设由此我们可设

　　A3+B3=C3

　　可是A3×B3×C3=2p可是A3×B3×C3=2p

　　而且是z3的因子,因此我们有而且是z3的因子,因此我们有

　　A3×B3×C3＜z3

　　A,B,C中会有负数；我们可以将负数移到等号的另一边使到方程式定形如A,B,C中会有负数；我们可以将负数移到等号的另一边使到方程式定形如

　　A*3+B*3=C*3

　　的形式,而A*,B*,C*都是正数,因此给出n=3的较小的解.的形式,而A*,B*,C*都是正数,因此给出n=3的较小的解.

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　　第二种情况：3能整除p,我们可写p=3s,又因为q不能被3整除,我们有第二种情况：3能整除p,我们可写p=3s,又因为q不能被3整除,我们有

　　z3=2p(p2+3q2)

　　=9×2s(3s2+q2)

　　我们见到9×2s及3s2+q2是互素,因此它们都是立方数.我们见到9×2s及3s2+q2是互素,因此它们都是立方数.用原第一种情况的理由,我们知道3s2+q2只有当q=a(a-3b)(a+3b)及s=3b(ab)(a+b)时方能成为立方数.用原第一种情况的理由,我们知道3s2+q2只有当q=a(a-3b)(a+3b)及s=3b(ab)(a+b)时方能成为立方数.由於由于

　　9×2s=27×2b(ab)(a+b)

　　是立方数,因此2b(ab)(a+b)必须是立方数,因此我们可以推导至是立方数,因此2b(ab)(a+b)必须是立方数,因此我们可以推导至

　　A3+B3=C3A＜x,B＜y,C＜z

　　根据无穷下降法原理,这是不可能的事.根据无穷下降法原理,这是不可能的事.

　　因此我们证明了当z是偶数,x和y是奇数时,x3+y3=z3不可能有整数解.因此我们证明了当z是偶数,x和y是奇数时,x3+y3=z3不可能有整数解.如果x(或者y)是偶数,我们可以考虑下式如果x(或者y)是偶数,我们可以考虑下式

　　x3=z3-y3(或者y3=z3-x3)x3=z3-y3(或者y3=z3-x3)

　　再用像前面的推证就可以证到x3+y3=z3没有整数解.再用像前面的推证就可以证到x3+y3=z3没有整数解.