如果旋转面的参数方程是

　　r(u,v)=(u*cos(v),u*sin(v),f(u))

　　则其测地线公式是(一般微分几何书上都有)

　　v(u)=v0+int_{u0}^{u}c*sqrt(1+[f'(w)]^2)/[w*sqrt(w^2-c^2)]dw

　　其中(u0,v0)是出发点位置,int_{u0}^{u}表示从u0到u的积分,

　　sqrt是开根号,f'(w)表示f的导数,c是一个常数,由

　　v(u1)=v1决定

　　由Liouville公式,还可以推出

　　dv/ds=c/u^2

　　其中s是测地线弧长参数.这样

　　ds/dv=u^2/c

　　ds=(u^2/c)dv=(u^2/c)dv/du*du

　　=(u^2/c)*c*sqrt(1+[f'(u)]^2)/[u*sqrt(u^2-c^2)]du

　　=u*sqrt(1+[f'(u)]^2)/sqrt(u^2-c^2)du

　　所以弧长等于int_{u0}^{u1}ds

　　=int_{u0}^{u1}u*sqrt(1+[f'(u)]^2)/sqrt(u^2-c^2)du

　　对于x^2+y^2-z^2=1,令f(u)=正负sqrt(u^2-1)即可.这样:

　　x=u*cos(v),y=u*sin(v),z=正负sqrt(u^2-1)

　　x^2+y^2-z^2=u^2-(u^2-1)=1

　　上面的积分不一定能够有积出来的表达式,实际计算的时候,可以数值计算.

　　以u0=1,v0=0,u1=2,v1=0为例,这对应着空间两点:

　　p1=(1,0,0),p2=(2,0,sqrt(3))

　　显然最短路径就是沿着母线走,通过这两点的母线方程是

　　x^2-z^2=1,也就是z=sqrt(x^2-1)(这里只取上半部分)

　　由求曲线弧长的微积分公式,最短路径长度是

　　int_{1}^{2}sqrt(1+[dz/dx]^2)dx

　　=int_{1}^{2}sqrt[(2x^2-1)/(x^2-1)]dx

　　这个积分没有封闭表达式结果,只能数值计算.