高中数学解题小结大汇总

　　熟悉这些解题小结论,启迪解题思路、探求解题佳径,总结解题方法,防止解题易误点的产生,对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果.

　　一、集合与简易逻辑

　　1.集合的元素具有无序性和互异性.

　　2.对集合,时,你是否注意到“极端”情况：或；求集合的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.

　　　3.对于含有个元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为

　　4.“交的补等于补的并,即”；“并的补等于补的交,即”.

　　5.判断命题的真假

　　关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’,不‘且’即‘或’”.

　　6.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.

　　7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.

　　原命题等价于逆否命题,但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.

　　注意：命题的否定是“命题的非命题,也就是‘条件不变,仅否定结论’所得命题”,但否命题是“既否定原命题的条件作为条件,又否定原命题的结论作为结论的所得命题”.

　　8.充要条件

　　二、函　数

　　1.指数式、对数式,

　　,,

　　,.

　　,,,,,

　　,..

　　2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合中的元素必有像,但第二个集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且仅有下一个,但中元素的原像可能没有,也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”,其中“值域是映射中像集的子集”.

　　(2)函数图像与轴垂线至多一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可任意个.

　　(3)函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.

　　(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数,分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域,并作为反函数的定义域）.

　　注意：①,,,

　　但.

　　②函数的反函数是,而不是.

　　3.单调性和奇偶性

　　(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同.

　　偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.

　　单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数.

　　注意：（1）确定函数的奇偶性,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.　

　　对于偶函数而言有：.

　　（2）若奇函数定义域中有0,则必有.即的定义域时,是为奇函数的必要非充分条件.

　　（3）确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.

　　（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.

　　(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.

　　(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件,奇函数可能反函数,但偶函数只有有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（,定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

　　(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增,增必同性；异性得减,减必异性”.

　　复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶,内奇同外”.

　　复合函数要考虑定义域的变化.（即复合有意义）

　　4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收,不可强记）

　　(1)函数与函数的图像关于直线（轴）对称.

　　推广一：如果函数对于一切,都有成立,那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称.

　　推广二：函数,的图像关于直线（由确定）对称.

　　(2)函数与函数的图像关于直线（轴）对称.

　　推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半确定”）.

　　(3)函数与函数的图像关于坐标原点中心对称.

　　推广：函数与函数的图像关于点中心对称.

　　(4)函数与函数的图像关于直线对称.

　　推广：曲线关于直线的对称曲线是；

　　曲线关于直线的对称曲线是.

　　(5)曲线绕原点逆时针旋转,所得曲线是（逆时针横变再交换）.

　　特别：绕原点逆时针旋转,得,若有反函数,则得.

　　曲线绕原点顺时针旋转,所得曲线是（顺时针纵变再交换）.

　　特别：绕原点顺时针旋转,得,若有反函数,则得.

　　(6)类比“三角函数图像”得：

　　若图像有两条对称轴,则必是周期函数,且一周期为.

　　若图像有两个对称中心,则是周期函数,且一周期为.

　　如果函数的图像有下一个对称中心和一条对称轴,则函数必是周期函数,且一周期为.

　　　如果是R上的周期函数,且一个周期为,那么.

　　　特别：若恒成立,则.

　　若恒成立,则.若恒成立,则.

　　如果是周期函数,那么的定义域“无界”.

　　　5.图像变换

　　(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题?

　　函数的图像按向量平移后,得函数的图像.

　　(2)函数图像的平移、伸缩变换中,图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.

　　(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“鱼钩函数”及函数等）相互转化.

　　注意：①形如的函数,不一定是二次函数.

　　②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系.

　　③形如的图像是等轴双曲线,双曲线两渐近线分别直线(由分母为零确定)、直线(由分子、分母中的系数确定),双曲线的中心是点.

　　三、数列

　　1.数列的通项、数列项的项数,递推公式与递推数列,数列的通项与数列的前项和公式的关系：(必要时请分类讨论).

　　注意：；

　　.