【求高手帮我证明圆锥体积公式等底面积等高的圆锥体积是圆柱体积-查字典问答网

来自刘永坦的问题

　　【求高手帮我证明圆锥体积公式等底面积等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一.此结论我一直没想出来.现在我有这个想法是这样.有一矩形ABCD,连接AC得到两个等面积的三角形,让这个矩形绕】

　　求高手帮我证明圆锥体积公式

　　等底面积等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一.此结论我一直没想出来.现在我有这个想法是这样.有一矩形ABCD,连接AC得到两个等面积的三角形,让这个矩形绕着AB边旋转.那么我得到一个圆柱,其中三角形ABC形成的是圆锥,三角形形ACD形成了个挖去圆锥的圆柱.我一开始很惊讶：为何面积相等的三角形绕着转形成的体积不同.后来我想到了由于两个三角形上与AB相等的线段大小不同.（不知能否说清楚就是,比如有一条直线EF平行AB交AC于G,那么EG与FG长度不同）

　　那么EG和FG绕AB形成的长方形面积就不同（小圆柱表面积）.靠近AB侧显然是三角形ABC占优势形成的体积大.但是在CD那侧三角形ACD优势更大,因为相同的差值由于半径长,形成体积差更大..于是解释了为什么两个三角形面积相等但是却形成体积不同的图形.但是为何是二倍的关系,我就感觉力不从心了.还请大家一起帮我完成这个证明.

1回答

2020-02-08 22:37

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兰箭

　　用定积分推导.前两天才做了一遍.

　　设圆锥高H,底面半径为R.

　　横截圆锥,得一圆面.设此圆面距底面的距离为h,半径为r.相似三角形的r/R=(H-h)/H,解出r=R(H-h)/H.设圆面面积为h的函数,即S(h)=πr^2=π(R(H-h)/H)^2=(πR^2/H^2)h^2-(2πR^2/H)h+πR^2.S(h)的的一个原函数为T(h)=(πR^2/3H^2)h^3-(πR^2/H)h^2+πR^2h.

　　故V=∫S(h)dh=T(H)-T(0)=π(R^2)H/3

　　体积公式已导出.

　　不知你是哪一年级的水平?我高一的,自学了一点微积分,这是我能想到的最简单的解法了.如果你已学函数,自己看看微积分的最基本的知识,马上就能理解我的解法.如果函数都没学,那也别着急.总有一天会明白的.

2020-02-08 22:39:30

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