纯几何法没找到,先用三角函数方法证明如下：

　　设角A=A,角C=3A,则角ABC=180度-4A,设BC=a,AB=c,AD=CD=b,BD=d,并设cos2A=x,

　　则在三角形ABC中,用正弦定理知a/sinA=c/sin3A=2b/sin4A,

　　所以c=asin3A/sinA=a(3-4sinA^2)=a(1+2cos2A)=a(1+2x),c^2=a^2(1+2x)^2.(1)

　　b=asin4A/2sinA=2acosAcos2A=2axcosA,b^2=4a^2x^2cos2A^2=2a^2x^2(1+x).(2)

　　在三角形ABD中,由正弦定理知d/sinA=c/sin135度,

　　所以d=根号2•csinA,d^2=2c^2sinA^2=c^2(1-cos2A)=a^2(1+2x)^2(1-x).(3)

　　在三角形ABD中,由余弦定理c^2=b^2+d^2-2bdcos135度.(4)

　　在三角形CBD中,由余弦定理a^2=b^2+d^2-2bdcos45度.(5)

　　(4)+(5),得c^2+a^2=2b^2+2d^2.(6)

　　将(1)(2)(3)代入(6),并化简,得2x^3-x=0,

　　x有3个根：0、根号2/2、-根号2/2

　　由于2A＜180度,所以只保留x=根号2/2,即cos2A=根号2/2,2A=45度,角ABC=180-4A=90度

　　故AB垂直于BC.