证明：充分性：如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立．

　　如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0

　　当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|，

　　当x＜0，y＜0时，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|，

　　总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|．

　　必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R

　　得（x+y）2=（|x|+|y|）2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2

　　得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，

　　综上，原命题成立．

　　故结论成立．