设a=（x,y）,b=(x',y').

　　1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

　　AB+BC=AC.

　　a+b=(x+x',y+y').

　　a+0=0+a=a.

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a；

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

　　AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

　　a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').

　　3、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

　　当λ＞0时,λa与a同方向；

　　当λ＜0时,λa与a反方向；

　　当λ=0时,λa=0,方向任意.

　　当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

　　注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

　　实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

　　当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　　当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

　　4、向量的数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.

　　向量的数量积的运算律

　　a·b=b·a（交换律）；

　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；

　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

　　向量的数量积的性质

　　a·a=|a|的平方.

　　a⊥b〈=〉a·b=0.

　　|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）

　　向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

　　2、向量的数量积不满足消去律,即：由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c.

　　3、|a·b|≠|a|·|b|

　　4、由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b.

　　5、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

　　向量的向量积性质：

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

　　a×a=0.

　　a‖b〈=〉a×b=0.

　　向量的向量积运算律

　　a×b=-b×a；

　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　　（a+b）×c=a×c+b×c.

　　注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

　　定比分点

　　定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）

　　设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.

　　若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有

　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),

　　y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）

　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

　　三点共线定理

　　若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线

　　三角形重心判断式

　　在△ABC中,若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心

　　向量共线的条件

　　若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.

　　若设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则有x1y2=x2y1.

　　零向量0平行于任何向量.

　　向量垂直的重要条件

　　a⊥b的充要条件是a·b=0,即x1x2+y1y2=0.

　　零向量0垂直于任何向量.