如果使用算术方法可以推导出来：

　　我们知道(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1

　　(1+1)^3-1^2=3*1^2+3*1+1

　　(2+1)^3-2^3=3*2^2+3*2+1

　　(3+1)^3-3^3=3*3^2+3*3+1

　　.............

　　(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1

　　以上相加得到：

　　(n+1)^3-1=3*Sn+3*n(n+1)/2+n...此处引用：1+2+3+....+n=n(n+1)/2

　　整理化简即可得到：

　　Sn=1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

　　由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

　　所以

　　2^3=1^3+3*1^2+3*1+1

　　3^3=2^3+3*2^2+3*2+1

　　4^3=3^3+3*3^2+3*3+1

　　5^3=4^3+3*4^2+3*4+1

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　　n^3=(n-1)^3+3*(n-1)^2+3*(n-1)+1

　　(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1

　　上面所有式子相加，并在两边同时减去相同的项：

　　(n+1)^3=1^3+3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n

　　不妨记[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]为S。

　　则n^3+3n^2+3n+1=1+3*S+3*(1+n)*n/2+n

　　化简得：S=n(n+1)*(2n+1)/6

　　taishen123的证法是最常见的。

　　不过要澄清一下，首先数学归纳是很严格的证明方法，虽然名字有“归纳”二字，但在逻辑上实际是演绎逻辑。

　　第二，从本质上说，不用数学归纳法是证不出这道题目的，事实上一切数列问题都要用到数学归纳法，因为数列本身就是归纳定义的。我们写

　　Sn=1^2+2^2+...+n^2

　　之所以可以用省略号，是因为这里隐含地用到了数学归纳法：

　　·第k项是k^2；

　　·S1=第1项=1^2；

　　·Sn=S(n-1)+第n项=S(n-1)+n^2．

　　没有数学归纳法，连这个数列本身是什么都说不清楚，更不必说计算它了。

　　万一

　　数学归纳法同样是严格的证明法只是开始要自己找规律证明时是严格证明的