欧拉公式到底(总共)有多少种形式啊?各怎样表达?-查字典问答网
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  欧拉公式到底(总共)有多少种形式啊?各怎样表达?

  欧拉公式到底(总共)有多少种形式啊?各怎样表达?

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2020-02-08 18:04
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陆科

  (1)分式里的欧拉公式:

  a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

  当r=0,1时式子的值为0

  当r=2时值为1

  当r=3时值为a+b+c

  (2)复变函数论里的欧拉公式:

  e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.

  它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.

  将公式里的x换成-x,得到:

  e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:

  sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

  这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:

  e^i∏+1=0.

  这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率∏,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0.数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它.

  (3)三角形中的欧拉公式:

  设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:

  d^2=R^2-2Rr

  (4)拓扑学里的欧拉公式:

  V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数.

  如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h.

  X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围.

  (5)初等数论里的欧拉公式:

  欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数.n是一个正整数.

  欧拉证明了下面这个式子:

  如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等.则有

  φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

  利用容斥原理可以证明它.

2020-02-08 18:05:37

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