方程有解问题的常用处理办法

　　方程有解的问题实际上是求函数零点的问题,判断方程有几个解的问题实际上就是判断函数有几个零点的问题,这类问题通常有以下处理办法：

　　一、直接法

　　通过因式分解或求根公式直接求方程的根,此法一般适合于含有一元二次（三次）的整式函数,或由此组合的分式函数.

　　例1（2010年福建理4）函数的零点个数为（）

　　A.0B.1C.2D.3

　　当时,由得（舍去）,；当时,由

　　得,所以函数的零点个数为2,故选C.

　　二、图象法

　　对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程,可以先转化为方程,再在同一坐标系中分别画出函数和的图象,两个图象交点的横坐标就是原函数的零点,有几个交点原函数就有几个零点.次法一般适合于函数解析式中既含有二次（三次）函数,又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型.

　　例2（2008年湖北高考题）方程的实数解的个数是

　　解析：在同一坐标系中分别作出函数和

　　的图象,从图中可得它们有两个交点,即方程有两个实数解.

　　三、导数法

　　在考查函数零点时,需要结合函数的单调性,并且适合用求导来求的函数,常用导数法来判定有无零点.

　　例3（2009年天津高考题）设函数,则（）

　　A.在区间内均有零点

　　B.在区间内均无零点

　　C.在区间内有零点,在区间内无零点

　　D.在区间内无零点,在区间内有零点

　　解析：令,令

　　所以函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,在处取得极小值

　　,又,故选D.

　　四、利用零点存在性定理

　　利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线,且,还必须结合函数的图象与性质（如单调性）才能确定函数有几个零点.

　　例4设,求函数在区间上有零点的概率.

　　,易知函数在区间上单调递增,若函数在区间上有零点,则,即.所以当时,或；当时,或；当时,或；当时,或,故满足条件的事件有8个,其中基本事件有个,故所求事件的概率为

　　五、分离参数法

　　例5（2007广东卷理20）已知是实数,函数如果函数在区间上有零点,求实数的取值范围.

　　解法1：时,,故

　　在区间上有解

　　在区间上有解

　　在区间上有解

　　问题转化为求函数在区间上的值域.

　　法一：设,令

　　随变化的情况如下表：

　　—0+

　　1

　　的值域为

　　其图象如图所示：

　　由此可知可知：,即或

　　法二：

　　令则

　　利用对勾函数性质可得即,故或.

　　解法2：在区间上有解在区间上有解

　　与且的图象有交点

　　由

　　++0——

　　5

　　1

　　、随变化的情况如下表：

　　函数的草图如下：

　　由图可知：或.

　　评注：利用函数处理方程解的问题,方法如下：

　　（1）方程在区间上有解

　　与的图象在区间上有交点

　　（2）方程在区间上有几个解与的图象在区间上有几个交点

　　例6设函数

　　（1）若函数在上存在单调递增区间,试求实数的取值范围；

　　（2）求函数的极值点.

　　（1）函数在上存在单调递增区间不等式在上有解

　　在上有解

　　令,结合对勾函数性质知,所以

　　（2）令

　　于是问题转化为求一元二次方程在上的解!

　　解法一：用直接法直接求解

　　因为,所以

　　①当,即时,方程无解,所以没有极值点；

　　②当,即时,对应的,但在的左右两侧导数值均大于0,所以没有极值点；

　　③当时,,但,

　　所以方程在无解,没有极值点；

　　当时,,且,

　　其中是极大值点,是极小值点.

　　综上所述,时,没有极值点；时,有极大值点,极小值点.

　　解法二：用零点存在性定理求解

　　方程在上要有解,要么有一正根,一负根；要么有两个正根,

　　令

　　①若方程有一正根,一负根,则应有,但事实上,所以矛盾!

　　②若方程有两个正根,则

　　所以,当时方程有两个正根,即和为函数的极值点；当时,方程没有正根,所以没有极值点.

　　解法三：图象法

　　由

　　分别画出和的图象

　　由图可知当时图象有两个交点,对应的方程有两个正根,

　　即和为函数的极值

　　点；当时,的左右两侧导数值均大于0,所以没有极值点；当时,两图象没有交点,方程没有正根,所以没有极值点.

　　评注：本题第（1）问是不等式有解问题,而第（2）问是方程有解问题,采用了三种不同的方法来处理.

　　例7已知及,若,使成立,求实数的取值范围.

　　易知的值域为,的值域为

　　由得的取值范围是或.

　　例8已知函数,

　　其中且

　　（1）判断函数的单调性；

　　（2）若,求函数的最值；

　　（3）设函数,当时,若对于任意的,总存在唯一的,使得成立,试求的取值范围.

　　（1）

　　①当时,在和上是减函数,在上是增函数；

　　②当时,在和上是增函数,在上是减函数.

　　（2）,所以

　　由（1）知在上是减函数且在上也是减函数

　　所以在上是减函数

　　当时,；当时,

　　（3）,

　　由（1）知在上是减函数,所以,即

　　又,

　　在上是增函数,所以,即

　　对任意,总存在唯一的,使得成立,

　　,故只需,即,

　　为此令,则在上是增函数,

　　而且有,,所以时,

　　故所求的取值范围是.

　　评注：一般地：分别定义在区间和上的函数,

　　若,,使成立

　　例9（2012年南昌市一模第21题）已知函数在处取到极值