用向量法证明三角形ABC的三条中线交于一点P,并且对任意一点-查字典问答网

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　　用向量法证明三角形ABC的三条中线交于一点P,并且对任意一点O有向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）注意：要求用向量法,不使用坐标

　　用向量法证明三角形ABC的三条中线交于一点P,并且对任意一点O有

　　向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）

　　注意：要求用向量法,不使用坐标

1回答

2020-02-09 00:26

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胡夏波

　　先假设两条中线AD,BE交与P点

　　连接CP,取AB中点F连接PF

　　PA+PC=2PE=BP

　　PB+PC=2PD=AP

　　PA+PB=2PF

　　三式相加

　　2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF

　　3PA+3PB+2PC=2PF

　　6PF+2PC=2PF

　　PC=-2PF

　　所以PC,PF共线,PF就是中线

　　所以ABC的三条中线交于一点P

　　连接OD,OE,OF

　　OA+OB=2OF

　　OC+OB=2OD

　　OC+OC=2OE

　　三式相加

　　OA+OB+OC=OD+OE+OF

　　OD=OP+PD

　　OE=OP+PE

　　OF=OP+PF

　　OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP

　　由第一问结论

　　2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP

　　2PA+2PB+2PC=0

　　1/2AP+1/2BP+1/2CP

　　所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP

　　向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）

2020-02-09 00:29:07