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  【(1)椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于AB两点,点P是椭圆C上异于AB的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点MN求证向量AN×向量BM为定值b^2-a^2(2)类比(1)可得如下命题双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0b】

  (1)椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于AB两点,点P是椭圆C上异于AB的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于

  点MN求证向量AN×向量BM为定值b^2-a^2

  (2)类比(1)可得如下命题双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0b>0)与x轴交于AB两点,点P是双曲线异于AB的任意一点,直线PAPB分别与y轴交于点MN,求证向量AN×向量BM为定值,请写出这个定值(不要求写出解题过程)

1回答
2020-02-09 15:20
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孔德明

  设AP,BP的斜率分别是k1,k2(一定存在,因为点P异于A、B)

  又设点P坐标为(x,y)

  则k1=y/x+a,k2=y/x-a(斜率公式)

  k1*k2=y^2/(x^2-a^2)

  由椭圆公式,解出y^2的值,代入上式得k1*k2=[b^2-(b^2*x^2)/a^2]/(x^2-a^2)这里只是分子代入了椭圆方程仔细看下

  上式化简得k1*k2=-b^2/a^2(给分子提取公因式-b^2/a^2,则余下部分约掉了)

  现使用点斜式,分别写出AP,BP的直线方程,求其与y轴交点

  AP:y=k1(x+a)BP:y=k2(x-a)

  令x=0,分别求得y=a*k1和y=-a*k2

  则M点坐标(0,a*k1)N(0,-a*k2),所以可以求得向量AN=(a,-a*k2),向量BM=(-a,a*k1)

  向量AN·向量BM=-a^2-a^2*k1*k2(横纵坐标之积的和)

  =-a^2(1+k1*k2)

  =-a^2(1-b^2/a^2)(前面求的)

  =b^2-a^2

  (2)应该是b^2+a^2

2020-02-09 15:24:08

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