没表达清楚:定值是对固定的椭圆上一点还是对一条固定的焦点弦?

　　不过其实两种理解的结论都不成立,请检查题目来源.

　　反例:椭圆x²/25+y²/16=1,左焦点F(-3,0).

　　过F的焦点弦x=-3端点为A(-3,16/5)和B(-3,-16/5),

　　椭圆上一点P(3,16/5),可知PA斜率为0,PB斜率为16/15,斜率积为0.

　　然而无论是P变动还是焦点弦变动,总可以使两个斜率均不为0,从而斜率积不为定值.

　　欢迎修正题目后追问.

　　端点应该指是长轴端点吧,比较正规的解析证明如下:不妨设椭圆方程为C:x²/a²+y²/b²=1,a>b>0,c>0满足c²=a²-b².可知左焦点为F(-c,0),长轴端点分别为P(-a,0)和Q(a,0).为使命题有意义,过F的焦点弦不与长轴重合,可设其方程为L:x+c=ky.与椭圆的两个交点坐标分别设为A(s,t),B(u,v).将L的方程代入C的方程,可知t,v是(ky-c)²/a²+y²/b²=1的两根.由根与系数关系,t+v=(2kc/a²)/(k²/a²+1/b²)=2kc/(k²+a²/b²)①,tv=(c²/a²-1)/(k²/a²+1/b²)=(c²-a²)/(k²+a²/b²)=-b²/(k²+a²/b²)②.PA的斜率为t/(s+a),PB的斜率为v/(u+a),因此斜率积=tv/((s+a)(u+a))=tv/(((kt-c)+a)((kv-c)+a))=tv/(k²tv+k(a-c)(t+v)+(a-c)²)=(-b²/(k²+a²/b²))/(-k²b²/(k²+a²/b²)+2k²c(a-c)/(k²+a²/b²)+(a-c)²)=-b²/(-k²b²+2k²c(a-c)+(a-c)²(k²+a²/b²))=-b²/(k²(-b²+2c(a-c)+(a-c)²)+(a-c)²a²/b²)=-b²/(k²(-b²+a²-c²)+(a-c)²a²/b²)=-b⁴/((a-c)²a²),是与k无关的定值.同理,QA与QB的斜率积=tv/((s-a)(u-a))=tv/(k²tv-k(a+c)(t+v)+(a+c)²)=-b²/(-k²b²-2k²c(a+c)+(a+c)²(k²+a²/b²))=-b²/(k²(-b²+a²-c²)+(a+c)²a²/b²)=-b⁴/((a+c)²a²),也是与k无关的定值.

　　不用谢.其实还有一种用极坐标的方法,大意如下:端点A,B的极坐标可分别设为:(θ,ep/(1-ecos(θ)))和(θ+π,ep/(1+ecos(θ))).由此得到A,B的直角坐标,算得QA,QB的斜率分别为:epsin(θ)/(a+c-e(a+c+p)cos(θ))和-epsin(θ)/(a+c+e(a+c+p)cos(θ)).由e=c/a,p=a²/c-c代入化简得:epsin(θ)/((a+c)(1-cos(θ)))和-epsin(θ)/((a+c)(1+cos(θ))).相乘得斜率积=-e²p²/(a+c)²=-b⁴/((a+c)²a²)为与θ无关的定值.我没有收集整理过这方面的资料.与椭圆的焦点,准线相关的性质非常之多,不过做题的套路并不是很多.就这道题来说,第一种证法对交点设而不解,用根与系数关系化简就是一种常见方法.第二种证法借助极坐标方程处理焦点相关问题,时常能使事半功倍.总之只要随着做题注意积累,就能对各种问题应对自如.