问一道椭圆题,怎样证明椭圆上任一点与两个焦点的斜率的乘积是定-查字典问答网
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  问一道椭圆题,怎样证明椭圆上任一点与两个焦点的斜率的乘积是定值,写出具体步骤,

  问一道椭圆题,

  怎样证明椭圆上任一点与两个焦点的斜率的乘积是定值,写出具体步骤,

1回答
2020-02-10 14:53
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汪存友

  你把题目都打错了,叫人怎么回答

  应该是证明椭圆上任一点(异于两顶点)与两个顶点(上下或左右顶点)的斜率的乘积是定值

  (1)设P(x1,y1)左右顶点为A(-a,o)B(a,o)

  K1=y1/(x1+a)K2=y2/(x1-a)

  k1k2=y1^2/(x^2-a^2)

  p在椭圆上则x1^2/a^2+y1^2/b^2=1即y1^2=b^2-b^2X1^2/a^2=(b^2/a^2)(a^2-x1^2)

  代入得k1k2=-b^2/a^2

  (2)设上下顶点为A(0,b)B(0,b)

  K1=(y1-b)/x1K2=(y2+b)/x1

  k1k2=(y1^2-b^2)/x^2

  p在椭圆上则x1^2/a^2+y1^2/b^2=1即x1^2=a^2-a^2X1^2/b^2=(a^2/b^2)(b^2-y1^2)

  代入得k1k2=-b^2/a^2

  这个是椭圆比较重要的性质之一

  k1k2=-b^2/a^2

  还可以进一步推广:椭圆上任意一点(异于两交点)和过原点的直线与椭圆的交点的连线的斜率之积为定值-b^2/a^2,

  双曲线也有类似性质

  双曲线上任意一点(异于两交点)和过原点的直线与双曲线的交点的连线的斜率之积为定值b^2/a^2

2020-02-10 14:56:12

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