设圆的方程为,

　　x^2+y^2=R^2,

　　（X0,Y0）为半径为圆上一点.

　　则,过此点的切线与圆心和此点的连线相互垂直.

　　若Y0=0,

　　则,X0=R,或者,X0=-R.

　　相应的切线方程为,

　　x=R,或者,x=-R.

　　符合

　　xX0+yY0=R^2.

　　若Y0不等于0,但X0=0,

　　则,Y0=R,或者,Y0=-R.

　　相应的切线方程为,

　　y=R,或者,y=-R.

　　符合

　　xX0+yY0=R^2.

　　若X0和Y0都不等于0.

　　则,

　　圆心和此点的连线的斜率为,Y0/X0.

　　所以,过此点的切线的斜率为,-X0/Y0.

　　过此点的切线方程为,

　　y-Y0=-X0/Y0(x-X0),

　　方程两边同乘Y0,

　　yY0-(Y0)^2=-X0(x-X0),

　　yY0-(Y0)^2+xX0-(X0)^2=0,

　　xX0+yY0=(X0)^2+(Y0)^2=R^2.

　　这就是,秘密所在吧.

　　一般情况下,

　　设圆的方程为,

　　(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,

　　则过圆上某点(X0,Y0)的切线方程可以由上面完全类似的推导,得到,

　　(x-a)(X0-a)+(y-b)(Y0-b)=R^2.

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　　根据曲线的梯度向量,也可得到相同的结论.

　　圆(x-a)^2+(y-b)^2=R^2上某点(X0,Y0)处的1个梯度方向[就是由圆心指向该点的向量]为,

　　[X0-a,Y0-b]

　　切线的方向向量和梯度方向相互垂直,

　　所以,这2个向量之间的点积（就是对应坐标相乘后求和）=0.

　　若(x,y)是切线上的任意1点,

　　则向量[x-X0,y-Y0]是切线的1个方向向量,

　　因此,

　　[X0-a][x-X0]+[Y0-b][y-Y0]=0,

　　[X0-a][x-a+a-X0]+[Y0-b][y-b+b-Y0]=0,

　　(x-a)[X0-a]-[X0-a]^2+(y-b)[Y0-b]-[Y0-b]^2=0,

　　(x-a)[X0-a]+(y-b)[Y0-b]=[X0-a]^2+[Y0-b]^2=R^2