【椭圆的中心为原点,离心率=根号2/2,一条准线方程x=2根号2,设动点P满足向量OP=向量OM+2向量ON,其中,M,N是椭圆上两点,直线OM与ON的斜率之积为-1/2,是否存在定点F使得|PF|与点P到直线l:x=2根号10的距离】
椭圆的中心为原点,离心率=根号2/2,一条准线方程x=2根号2,设动点P满足向量OP=向量OM+2向量ON,
其中,M,N是椭圆上两点,直线OM与ON的斜率之积为-1/2,是否存在定点F使得|PF|与点P到直线l:x=2根号10的距离之比为定值,若存在,求出F点坐标
∵√a2-b2／a=√2／2,a2／c=a2／√a2-b2=2√2,
∴a=2,b=√2,
∴x2／4+y2／2=1．
设P（x,y）,M（x1,y1）、N（x2,y2）．
∵OP=OM+2ON,
∴（x,y）=（x1+2x2,y1+2y2）,∴x=x1+2x2,y=y1+2y2,
∵M、N是椭圆上的点,∴x12+2y12-4=0,x22+2y22-4=0．
∴x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）
=4+4×4+4（x1x2+2y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）．
∵直线OM与ON的斜率之积为-1／2,
∴y1／x1•y2／x2=-1／2,
∴x2+2y2=20,
P是椭圆x2／20+y2／10=1上的点,F（√10,0）,准线l：x=2√10,e=√2／2,
|PF|与点P到直线l：x=2√10的距离之比为定值√2／2,
故存在点F（√10,0）,满足|PF|与点P到直线l：x=2√10的距离之比为定值．
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