F为抛物线y2=4x的焦点,直线l与其交于A.B两点,与x轴-查字典问答网

来自李三东的问题

　　F为抛物线y2=4x的焦点,直线l与其交于A.B两点,与x轴交于P点,且以AB为直径的圆过原点O,则OF·FP是向量OF和向量FP的数量积

　　F为抛物线y2=4x的焦点,直线l与其交于A.B两点,与x轴交于P点,且以AB为直径的圆过原点O,则OF·FP

　　是向量OF和向量FP的数量积

1回答

2020-02-10 15:48

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齐柳乐

　　设P(p,0),(p≠0)l:x=ty+p

　　x=ty+p代入y²=4x

　　得：y²=4(ty+p)

　　即y²-4ty-4p=0

　　设A(x1,y1),B(x2,y2)

　　根据韦达定理：

　　y1+y2=4t,y1y2=-4p

　　∵以AB为直径的圆过原点O

　　∴∠AOB=90º

　　∴向量OA●OB=0

　　即x1x2+y1y2=0

　　∴x1x2-4p=0

　　x1x2=4p

　　又y²1=4x1,y²2=4x2

　　∴16x1x2=(y1y1)²

　　∴64p=16p²

　　∵p≠0,∴p=4

　　即P(4,0）

　　又F(1,0)

　　∴OF·FP

　　=（1,0）●（3,0）

2020-02-10 15:51:12