如图,已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>o-查字典问答网

来自侯贻蒙的问题

　　如图,已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>o,b>o)的长轴AB长为4,离心率e=二分之根号三,O为坐标原点,过B过B点的直线l与x轴垂直。P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH垂直于X轴，H为垂足，延长HP到点Q使得H

　　如图,已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>o,b>o)的长轴AB长为4,离心率e=二分之根号三,O为坐标原点,过B

　　过B点的直线l与x轴垂直。P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH垂直于X轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ,连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点。

　　（1）求椭圆的方程

　　（2）证明Q在以AB为直径的圆上

　　（3）试判断直线QN与于圆O的位置关系

1回答

2020-02-10 22:20

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郭金坤

　　根据题意

　　2a=4

　　a=2

　　e=c/a=√3/2

　　c=√3

　　b²=a²-c²=4-3=1

　　b=1

　　椭圆方程：x²/4+b²=1

　　(2)设点P（2cosa,sina）

　　则点Q（2cosa,2sina）

　　Kqa×Kqb=2sina/(2cosa-2)*2sina/(2cosa+2)

　　=4sin²a/(4cos²a-4)=sin²a/(cos²a-1)=sin²a/(-sin²a)=-1

　　所以AQ⊥BQ

　　角AQB=90度,AB为直径

　　证毕

　　（3）因为∠BQM=90度,N为BM中点

　　QN=NB

　　∠BQN=∠NBQ

　　∠NBQ=∠MAB(∠NBQ为弦切角,MB是切线)

　　所以∠BQN=∠MAB

　　那么QN为圆O的切线.

2020-02-10 22:21:21