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  如图所示,从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,垂足为焦点F1,若椭圆长轴一个端点为A,短轴一个端点为B,且OM∥AB.若F2为椭圆的右焦点,直线PQ过F2交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥AB,当S△F1PQ=20

  如图所示,从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,垂足为焦点F1,若椭圆长轴一个端点为A,

  短轴一个端点为B,且OM∥AB.若F2为椭圆的右焦点,直线PQ过F2交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥AB,当S△F1PQ=20√3时,求椭圆方程

1回答
2020-02-10 22:31
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傅德胜

  由MF1⊥x轴知|MF1|=b^2/a,

  又OM∥AB,

  ∴△ABO∽△OMF1,a∶c=b∶(b^2/a),

  ∴b=c,a=√2b,直线AB的斜率为√2/2,那么直线PQ的斜率为-√2,

  椭圆方程可设为x^2/2+y^2=b^2……①,

  直线PQ的方程为x=(-√2/2)y-b……②,

  设点P、Q的纵坐标分别为y1、y2,则S△F1PQ=|F1F2|*(y1-y2)/2,而|F1F2|=2b,

  ∴S△F1PQ=b*(y1-y2),∴b*(y1-y2)=20√3,

  ∴(y1-y2)^2=1200/(b^2),

  联解方程①②得:((-√2/2)y-b)^2+2y^2=2b^2,

  整理得:5y^2+2√2by-2b^2=0,

  ∴y1+y2=-(2√2b)/5,y1y2=-(2b^2)/5,

  又(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2,

  ∴8b^2/25+8b^2/5=1200/(b^2),

  解得b^2=25,

  ∴所求椭圆方程为:x^2/2+y^2=25.

2020-02-10 22:33:40

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