【已知椭圆方程为x^2/3b^2+y^2/b^2=1(b>0-查字典问答网

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　　【已知椭圆方程为x^2/3b^2+y^2/b^2=1(b>0),经过椭圆右焦点且斜率为1的直线l交椭圆与A,B两点,设点M为椭圆上任一点,且向量OM=λ向量OA+μ向量OB,证明：λ^2+μ^2为定值.】

　　已知椭圆方程为x^2/3b^2+y^2/b^2=1(b>0),经过椭圆右焦点且斜率为1的直线l交椭圆与A,B两点,设点M为椭圆上任一点,且向量OM=λ向量OA+μ向量OB,证明：λ^2+μ^2为定值.

1回答

2020-02-10 06:00

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李守志

　　椭圆x²/(3b²)+y²/b²=1的右焦点是(√2b,0)

　　经过椭圆右焦点且斜率为1的直线l：y=x-√2b,

　　解由椭圆与直线l联立的方程组,

　　得交点A(√3(√6+√2)b/4,(√6-√2)b/4),B(√3(√6-√2)b/4,(-√6-√2)b/4),

　　设M(x,y),因为向量OM=λ向量OA+μ向量OB,

　　所以x=√3(√6+√2)bλ/4+√3(√6-√2)bμ/4,y=(√6-√2)bλ/4-(√6+√2)bμ/4,

　　将点M代入方程x²/(3b²)+y²/b²=1,化简得λ²+μ²=1.

2020-02-10 06:01:31