椭圆证明题,椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于两点A、B,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:向量AN.向量BM为定值b＾2-a＾2
椭圆证明题,
椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于两点A、B,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:向量AN.向量BM为定值b＾2-a＾2
设AP,BP的斜率分别是k1,k2（一定存在,因为点P异于A、B）
又设点P坐标为（x,y）
则k1=y/x+a,k2=y/x-a（斜率公式）
k1*k2=y^2/(x^2-a^2)
由椭圆公式,解出y^2的值,代入上式得k1*k2=[b^2-(b^2*x^2)/a^2]/(x^2-a^2)这里只是分子代入了椭圆方程仔细看下
上式化简得k1*k2=-b^2/a^2（给分子提取公因式-b^2/a^2,则余下部分约掉了）
现使用点斜式,分别写出AP,BP的直线方程,求其与y轴交点
AP：y=k1(x+a)BP:y=k2(x-a)
令x=0,分别求得y=a*k1和y=-a*k2
则M点坐标（0,a*k1）N(0,-a*k2),所以可以求得向量AN=（a,-a*k2）,向量BM=(-a,a*k1)
向量AN·向量BM=-a^2-a^2*k1*k2(横纵坐标之积的和)
=-a^2(1+k1*k2)
=-a^2(1-b^2/a^2)（前面求的）
=b^2-a^2