设在椭圆上有一点P（x1,y1)经过此点椭圆的切线方程为：x1*x/a^2+y1*y/b^2=1

　　方法一：设切线的方程为Y-Yo=k(X-Xo)即Y=k(X-Xo)+Yo①

　　把①式代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得：

　　X^2/a^2+[k(X-Xo)+Yo]^2/b^2=1即：

　　b^2·X^2+a^2·[k^2·(X-Xo)^2+Yo^2+2Yo·k(X-Xo)]=a^2·b^2即：

　　(b^2+a^2·k^2)X^2-(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)X+(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0

　　由于切线Y-Yo=k(X-Xo)与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1相切,所以上式方程有且只有一个实数解.

　　则△=(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)^2-4(b^2+a^2·k^2)(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0

　　则有k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)

　　把k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)代入切线方程Y-Yo=k(X-Xo),得：

　　(a^2·Yo)(Y-Yo)=-(b^2·Xo)(X-Xo)即：

　　a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·Yo^2+b^2·Xo^2②

　　又把点(Xo,Yo)代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得：

　　Xo^2/a^2+Yo^2/b^2=1即b^2·Xo^2+a^2·Yo^2=a^2·b^2③

　　把③式代入②式,得：

　　a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·b^2

　　等式两边同时除以a^2·b^2,得：

　　Xo·X/a^2+Yo·Y/b^2=1

　　方法二：用隐函数求导

　　有椭圆方程两边分别对x求导：

　　b²x²+a²y²-a²b²=0

　　2b²x+2a²y*(dy/dx)=0

　　(dy/dx)=-b²x1/(a²y1)

　　即k=-b²x1/(a²y1)

　　则切线方程是：y-y1=k*(x-x1)=[-b²x1/(a²y1)](x-x1)

　　(y-y1)(a²y1)+b²x1(x-x1)=0

　　a²yy1+b²x1x-（a²y1²+b²x1²）=a²yy1+b²x1x-a²b²=0

　　即：xx1/a²+yy1/b²=1

　　双曲线过点（x0,y0)的切线为

　　x0*x/(a^2)-y0*y/(b^2)=1

　　证明：x²/a²-y²/b²=1.对x求导：2x/a²-2yy′/b²=0.

　　（x0,y0）的切线斜率y′=x0b²/y0a²

　　（x0,y0）的切线方程：（y-y0）＝x0b²/y0a²（x-x0）.

　　注意到b²x0²-a²y0²＝a²b².

　　切线方程k可化简为：x0x／a²-y0y／b²＝1.

　　求抛物线:y^2=2px在点(a,b)处切线的方程

　　抛物线方程两边对x求导:得:

　　2yy'=2p即y'=p/y

　　故抛物线在(a,b)处切线的斜率为p/b

　　所以在(a,b)处切线方程为:y-b=（p/b）(x-a)

　　又:b^2=2pa所以y+b=p(x+a)

　　即抛物线y^2=2px在(a,b)处切线方程为:y+b=p(x+a)