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  已知圆M经过直线l:2x+y+4=0于圆C:x^2+y^2+2x-4y+1=0的两个交点,且有最小面积,求圆方程设x²+y²+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0谁能告诉我为什么这样设?

  已知圆M经过直线l:2x+y+4=0于圆C:x^2+y^2+2x-4y+1=0的两个交点,且有最小面积,求圆方程

  设x²+y²+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0

  谁能告诉我为什么这样设?

1回答
2020-02-10 23:39
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高云峰

  这个是经过直线上两点的圆系方程.

  详述如下:

  在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程.

  在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中,若圆心(a,b)为定点,r为参变数,则它表示同心圆的圆系方程.若r是常量,a(或b)为参变数,则它表示半径相同,圆心在同一直线上(平行于x轴或y轴)的圆系方程.

  经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0

  的交点圆系方程为:

  x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)

  经过直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的交点圆系方程

  x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

  类型1:方程表示半径为定长的圆系类型2:方程表示以定点为圆心的同心圆系.

  拓展1:方程表示圆心落在定直线上,半径为r(r为正数)的圆系.

  拓展2:方程表示圆心落在任意直线上,半径为定长的圆系.

  拓展3:方程表示圆心落在直线上的圆系.

  拓展4:方程表示圆心落在圆上,半径为的圆系.

  类型3:共轴圆系

  若⊙C1与⊙C2交于A、B两点,则直线AB称为这两个圆的根轴.经过A、B两点的所有的圆形成一个圆系,这圆系内任何两个圆的根轴均为直线AB,因此我们称这种圆系为共轴圆系.

  编辑本段理解

  1.例题:求x+(m+1)y+m=0所过定点

  可将原式化为x+y+m(y+1)=0

  即为x+y=0;y+1=0

  解得恒过点(1,-1)

  由此我们理解到当除了x,y(为一次幂)还有一未知数m时,依然可求得一定点.

  由此可联想:当有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0我们便能求出两定点.

  过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为:

  x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(Ax+By+C)=0

  理解2:有二次方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0①式

  x2+y2+D2x+E2y+F2=0②式

  ①式+②式得x2+y2+D1x+E1y+F1+x2+y2+D2x+E2y+F2=0

  此方程仅符合交点坐标(即带入交点后成立)

  加入参数λ让方程代表恒过两点的所有圆.

  例题

  例2:求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程.

  分析:本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,寻求各变量关系,求半径最值,虽然可行,但运算量较大.自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行.为了避免讨论,先求出两圆公共弦所在直线方程.则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题.

  圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为

  x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0,即2x+2y-11=0

  过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为

  x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0,即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0

  依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上.即-2λ-2λ+11=0,则λ=-11/4

  代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8

  同样还有类似的直线系方程、椭圆系方程等等,自己多了解这方面知识,对解题很方便的.

  直线系方程直线系定义:

  具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合,叫做直线系.它的方程叫做直线系方程,直线系方程的特征是含参数的二元一次方程.

  2.几种常见的直线系方程:

  (1)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0(λ是参数)

  (2)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+λ=0(λ为参数)

  (3)过已知点P(x0,y0)的直线系方程y-y0=k(x-x0)和x=x0(k为参数)

  (4)斜率为k0的直线系方程为y=k0x+b(b是参数)

  (5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程

  A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0和A2x+B2y+C2=0(λ为参数)

  本题可以直接求交点,按部就班地求圆的方程,最后也能做出来,但是就比较复杂了.

2020-02-10 23:44:03

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