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  【已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分(2011•惠州模拟)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分别】

  已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分

  (2011•惠州模拟)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点.

  (1)求点M的轨迹C的方程;

  (2)斜率为k的直线l与曲线C交于P,Q两点,若OP•OQ=0(O为坐标原点),试求直线l在y轴上截距的取值范围

1回答
2020-02-11 00:01
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林祖伦

  (1)易知F1(-1,0),F2(1,0),圆的半径PF1=2√2

  连接MF2

  因直线m为线段PF2的中垂线

  则MP=MF2

  而MF1+MP=PF1=2√2

  即MF1+MF2=2√2

  表明动点M到定点F1、F2的距离和为定值

  依据椭圆定义知动点M的轨迹为椭圆

  令点M的轨迹C(椭圆)方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

  易知a=√2,c=1

  而b^2=a^2-c^2=1

  所以点M的轨迹C(椭圆)方程为x^2/2+y^2=1

  (2)令直线l:y=kx+n(斜截式)

  令P(x1,y1),Q(x2,y2)

  则向量OP=(x1,y1),向量OQ=(x2,y2)

  因向量OP•OQ=0

  则x1x2+y1y2=0(I)

  联立直线l与椭圆C方程得(1+2k^2)x^2+4nkx+2n^2-2=0

  由韦达定理有x1+x2=-4nk/(1+2k^2),x1x2=(2n^2-2)/(1+2k^2)(II)

  因P、Q同在直线l上

  则y1=kx1+n,y2=kx2+n

  两式相乘得y1y2=k^2x1x2+nk(x1+x2)+n^2=(n^2-2k^2)/(1+2k^2)(III)

  由(I)(II)(III)得n^2=2/3(k^2+1)

  因k^2≥0

  则n^2≥2/3

  即n≤-√6/3或n≥√6/3

  所以直线l在y轴上截距的取值范围为(-∞,-√6/3]U[√6/3,+∞)

2020-02-11 00:03:13

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