【在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左-查字典问答网

来自刘济的问题

　　【在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M、N两点三角形MNF面积的最大值为1,设P、A、B是椭圆上异于顶点的三点,Q(m,n）是单位圆x2+y2=1上任意一点,】

　　在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M、N两点

　　三角形MNF面积的最大值为1,设P、A、B是椭圆上异于顶点的三点,Q(m,n）是单位圆x2+y2=1上任意一点,使向量OP=m向量OA+n向量OB,求证：直线OA与向量OB的斜率之积为定值

1回答

2020-02-10 06:31

我要回答

请先登录

阮绍骏

　　设P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,把点A,B代入椭圆方程可得x212+y21＝1③,x222+y22＝1④,又Q（m,n）是单位圆x2+y2=1上任一点可得m2+n2=1⑤,

　　由OP＝mOA+nOB,得到x＝mx1+nx2y＝my1+ny2.因P在椭圆上,故(mx1+nx2)22+(my1+ny2)2＝1．把③④⑤代入上式即可得出x1,y1,x2,y2,满足的式子即可证明结论；

　　②利用①的结论kOAkOB＝y1y2x1x2＝−12为定值．可得故y21+y22＝1．及又(x212+y21)+(x222+y22)＝2,可得x21+x22＝2．故可证明OA2+OB2=x21+y21+x22+y22为定值．

2020-02-10 06:34:26