【椭圆x^2/a^+y^2/b^2=1上的点M与椭圆右焦点F-查字典问答网

来自顾思宁的问题

　　【椭圆x^2/a^+y^2/b^2=1上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直,且OM与椭圆长轴和短轴点的连线AB平行.1）求椭圆的离心率2）F2是椭圆的左焦点,C是椭圆上的任意一点,证明∠F1CF2≤二分之π3）过F1且】

　　椭圆x^2/a^+y^2/b^2=1上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直,且OM与椭圆长轴和短轴点的连线AB平行.

　　1）求椭圆的离心率

　　2）F2是椭圆的左焦点,C是椭圆上的任意一点,证明∠F1CF2≤二分之π

　　3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P,Q若三角形PF2Q的面积是20倍根号3,求此时椭圆的方程.

　　11点之前打完再多加30分.

1回答

2020-02-10 07:21

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邵时

　　1,当M在第一象限,求出M（√(a²-b²),b²/a)

　　OM斜率为b²/[a√(a²-b²)]=b/a

　　得a/b=√2

　　e=√(1-b²/a²)=√2/2

　　2,根据1结果,椭圆方程为：

　　（x/√2b)²+(y/b)²=1

　　设C(x,y)

　　cos∠F1CF2=（CF1²+CF2²-F1F2²)/(2CF1·CF2)

　　=(y²+x²-b²)/√[y²+(x-b)²]√[y²+(x+b)²]

　　用x替代y得：

　　x²/|x²-4b²|≥0所以得证

　　3,我们还是只讨论一种情况就行了；AB在第一象限,Q在第一象限,P在y负半轴.

　　那么直线PQ过（b,0),斜率为a/b,方程为y=a/bx-a=√2x-√2b

　　三角形面积为1/2cos∠F1PF2·PF1·PQ

　　连立方程求解PQ=6√2b/5Px=(4-√6)/5

　　PF2=√2/2|x+2b|解出b即可,繁琐

2020-02-10 07:26:30