来自顾杭的问题
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上有两点P,Q,P是原点,kop.koq=-b^2/a^2求线段PQ中点的轨迹方程打错了，O是原点
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上有两点P,Q,P是原点,kop.koq=-b^2/a^2
求线段PQ中点的轨迹方程
打错了，O是原点
1回答
2020-02-10 13:07
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刘洪军
设中点M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2x,y1+y2=2y
由题意得
x1²/a²+y1²/b²=1.①
x2²/a²+y2²/b²=1.②
①+②得
(x1²+x2²)/a²+(y1²+y2²)/b²=2.③
kop=y1/x1,koq=y2/x2
所以y1y2/x1x2=-b²/a²
即x1x2/a²=-y1y2/b²
即x1x2/a²+y1y2/b²=0.④
④×2+③得
(x1²+x2²+2x1x2)/a²+(y1²+y2²2y1y2)/b²=2
(x1+x2)²/a²+(y1+y2)²/b²=2
(2x)²/a²+(2y)²/b²=2
2x²/a²+2y²/b²=1
所以线段PQ中点的轨迹是椭圆2x²/a²+2y²/b²=1.
2020-02-10 13:09:32