已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.

　　(1)求直线的斜率；

　　(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.

　　(1)

　　(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.,那么设出点M的坐标，结合向量的坐标关系来证明。

　　试题分析：解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.

　　从而椭圆的方程可化为:

　　① 知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:.②由①,②有:.

　　③设,弦的中点,由③及韦达定理有:

　　所以,即为所求. 5分

　　(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:

　　,故. 7分

　　又因为点在椭圆上,所以有整理可得:

　　. ④

　　由③有: