已知,是平面上的两个定点,动点满足.求动点的轨迹方程;已知圆方程为,过圆上任意一点作圆的切线,切线与中的轨迹交于,两点,为坐标原点,设为的中点,求长度的取值范围.
已知,是平面上的两个定点,动点满足.求动点的轨迹方程;已知圆方程为,过圆上任意一点作圆的切线,切线与中的轨迹交于,两点,为坐标原点,设为的中点,求长度的取值范围.
解:(1)由题意知,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=√6,c=√3,b=√3.综上所述,∴动点P的轨迹方程为x2/6+y2/3=1.(2)若直线AB斜率不存在,则直线AB方程为x=±√2,此时,|OQ|=√2.若直线AB斜率存在,设直线AB方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2).联立{y=kx+bx2+2y2=6,得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0.∴x1+x2=-4kb/1+2k2,x1x2=2b2-6/1+2k2.∴y1+y2=k(x1+x2)+2b=2b/1+2k2,∴Q(-2kb/1+2k2,b/1+2k2).∵直线AB与圆O相切,∴|b|/√1+k2=√2,即b2=2(1+k2).∴|OQ|2=4k2b2+b2/(1+2k2)2=2(4k4+5k2+1)/4k4+4k2+1=2(1+k2/4k4+4k2+1).当k=0时,|OQ|=√2.当k≠0时,|OQ|2=2(1+1/4k2+1/k2+4)≤9/4,当且仅当4k2=1/k2时,等号成立.综上所述,∴|OQ|∈[√2,3/2].