a²=16,b²=4,∴c²=12,即c=2√3
∴F1(-2√3,0),F2(2√3,0)
点P(√3·y-8-2√3,y),|F1F2|=2c=4√3
设∠F1PF2=α,不妨设y>0
∴|PF1|²=(x+2√3)²+y²=(√3·y-8)²+y²
|PF2|²=(x-2√3)²+y²=(√3y-8-4√3)²+y²
∴|PF1|²+|PF2|²=8y²-(32√3+24)y+176+64√3
∴PF1|²+|PF2|²-(2c)²=8y²-(32√3+24)y+128+64√3
又由△F1PF2的面积可得:|PF1|·|PF2|·sinα=2c·y,即:|PF1|·|PF2|=(4√3y)/sinα
∴cosα=(PF1|²+|PF2|²-(2c)²)/(2PF1|·|PF2|)
=[8y²-(32√3+24)y+128+64√3]/[(8√3y)/sinα]
∴(cosα)/(sinα)==[8y²-(32√3+24)y+128+64√3]/(8√3y)
即cotα=(1/√3)·[y-(4√3+3)+(16+8√3)/y]
≥(1/√3)·{2√[y·(16+8√3)/y]-(4√3+3)}
=(1/√3)·{4√(4+2√3)-(4√3+3)}
=(1/√3)·{4(1+√3)-(4√3+3)}=1/√3
当且仅当y=16+8√3)/y时取等号
这时,y²=16+8√3
即y²=4(4+2√3),即y=2(1+√3)
这时,cotα最小,即角α最大
|PF1|²/|PF2|²=[(√3·y-8)²+y²]/(√3y-8-4√3)²+y²
=(y²-4√3y+16)/[y²-(4√3+6)y+28+164√3]
=4-2√3
∴|PF1|/|PF2|=√3-1
第二题不会做